Aprendiendo más de las Matematicas: 2008

Elementos de los triángulos

EXTRA: Área de un triángulo

Como figura geométrica más sencilla, los triángulos han sido analizados con un alto grado de detalle desde las civilizaciones antiguas. Los filósofos griegos ofrecieron descripciones muy minuciosas de sus formas y sus elementos, con sus propiedades y sus relaciones genuinas.

Familias de triángulos

Se llama triángulo a un polígono de tres lados. Por tanto, el triángulo es la figura geométrica cerrada más simple que existe, y se distingue por poseer tres ángulos interiores y carecer de diagonales. La confluencia o intersección entre cada dos lados del triángulo se llama vértice.

Se han propuesto varias clasificaciones para los triángulos:

Según la longitud de sus lados, se distingue entre triángulos equiláteros, con los tres lados iguales; isósceles, con dos lados iguales y uno desigual, y escalenos, con los tres lados distintos.
Atendiendo a sus ángulos interiores, pueden ser acutángulos, cuando los tres ángulos son agudos; rectángulos, si poseen un ángulo recto (90º), y obtusángulos, cuando alguno de los ángulos es obtuso (mayor de 90º).

Los triángulos rectángulos constituyen una familia geométrica de especial interés, ya que sirven de base para la definición de las razones y las funciones trigonométricas. En los triángulos rectángulos, se llama hipotenusa al lado opuesto al ángulo recto, y catetos a los otros dos lados.

Clases de triángulos.

Propiedades de los triángulos

Todo triángulo verifica un conjunto de propiedades geométricas esenciales muy interesantes:

Cualquiera de sus lados es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
Los tres ángulos interiores de un triángulo suman siempre un ángulo llano (180º). Por tanto, los triángulos equiláteros tienen tres lados iguales y tres ángulos iguales, de un valor de 60º.
El ángulo mayor se opone al lado más largo del triángulo, y al contrario. Asimismo, si dos lados son iguales, sus ángulos interiores opuestos son también iguales, y viceversa. Así, por ejemplo, los triángulos equiláteros son regulares.

Elementos de un triángulo

Además de los lados y los ángulos interiores, en un triángulo pueden definirse otros elementos de interés desde el punto de vista de la geometría.

Se llama altura a cada una de las perpendiculares trazadas desde un lado al vértice opuesto. Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto denominado ortocentro.
Las mediatrices de un triángulo son cada una de las perpendiculares de sus lados desde su punto medio. La intersección de las tres mediatrices de un triángulo se conoce por circuncentro (que es, además, el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo).
Se denomina mediana de un triángulo a cada una de las rectas trazadas desde el punto medio de un lado al vértice opuesto. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro o, también, centro de gravedad del triángulo.
Las bisectrices son las rectas que dividen por la mitad cada uno de los ángulos del triángulo. Las tres bisectrices de un triángulo intersecan en un punto denominado incentro (que coincide con el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo).

Triangulaciones

Una de las razones que explica el interés de la figura del triángulo en geometría es posibilidad de describir cualquier polígono convexo como una combinación de triángulos. Esta técnica, llamada triangulación, permite establecer relaciones entre los elementos de los polígonos, así como facilitar el cálculo de sus áreas y otras propiedades geométricas.

Para triangular un polígono convexo, basta con elegir uno de sus vértices y trazar desde él todas las diagonales a los vértices opuestos. Otro procedimiento válido de triangulación consiste en fijar uno o varios puntos interiores del polígono y unirlos mediante rectas con cada uno de los vértices.

Ejemplos de triangulaciones posibles de un mismo pentágono.

En los polígonos convexos se cumple una propiedad general: la suma de los ángulos interiores del polígono es siempre igual a tantos ángulos llanos (180º) como lados tiene el polígono menos 2.

Ilustración de la propiedad de los ángulos interiores de un polígono.

TRIÁNGULO

Es un polígono de tres lados, es decir, una porción de plano limitada por tres segmentos unidos, dos a dos, por sus extremos. Los tres segmentos que limitan el triángulo se denominan lados, y los extremos de los lados, vértices.

En un triángulo se consideran dos tipos de ángulos : interior (formado por dos lados) y exterior (formado por un lado y la prolongación de otro).

Consideraciones :

En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a dos rectos.
En todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes.
Dos triángulos son iguales cuando tienen iguales un lado y sus dos ángulos adyacentes.
Dos triángulos son iguales cuando tienen dos lados iguales y el ángulo comprendidos.
Dos triángulos son iguales cuando tienen los tres lados iguales.
En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo.
Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos son también iguales.
En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

C L A S I F I C A C I Ó N D E L O S T R I Á N G U L O S
Según sus lados Equiláteros (sus tres lados iguales) Isósceles (dos lados iguales y uno desigual) Escaleno (tres lados desiguales)
Según sus ángulos Rectángulos (un ángulo recto) Acutángulos (tres ángulos agudos) Obtusángulos (un ángulo obtuso)

ELEMENTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO


Bisectriz es la semirrecta que divide a un ángulo en dos partes iguales. Incentro es el punto de intersección de las tres bisectrices de un triángulo. Es el centro de la circunferencia inscrita.	Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al mismo en su punto medio. Circuncentro es el punto de intersección de las tres mediatrices de un triángulo. Es el centro de la circunferencia circunscrita.

Altura es el segmento perpendicular comprendido entre un vértice y el lado opuesto. Ortocentro es el punto de intersección de las tres alturas de un triángulo.	Mediana es el segmento comprendido entre un vértice y el punto medio del lado opuesto. Baricentro es el punto de intersección de las tres medianas de un triángulo.

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Hipotenusa : a
Catetos : b y c
Proyección del cateto b : P_b
Proyección del cateto c : P_c
Altura : h
Ángulo recto :

= 90º
Ángulos agudos :

RELACIONES MÉTRICAS		RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

AREA		OTRAS RELACIONES		CASOS DE RESOLUCIÓN
				1º HIPOTENUSA Y ÁNGULO 2º CATETO Y ÁNGULO 3º HIPOTENUSA Y CATETO 4º DOS CATETOS

TRIÁNGULOS NO Rectángulos

Tiene todos sus ángulos agudos

Tiene un ángulo obtuso

RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

2R = Diámetro de la circunferencia circunscrita

º grados sexagesimales
rad radianes^g grados centesimales

OTRAS RELACIONES en cualquier triángulo

Angulos

Se denomina ángulo, en el plano, a la porción de éste comprendida entre dos semirrectas que tienen un origen común denominado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos rayos con origen común. Así, un ángulo determina una superficie abierta (subconjunto abierto de puntos del plano), al estar definido por dos semirrectas, denominándose medida del ángulo a la amplitud de estas semirrectas.

Las unidades de medida de ángulos

Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:

Radián (usado oficialmente en el sistema internacional de unidades)
Grado centesimal
Grado sexagesimal

Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.

Clasificación de ángulos planos

Ángulo agudo

Ángulo recto

Ángulo agudo

Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y menor de $\frac{\pi}{2}$ rad (mayor de 0º y menor de 90º).
Al punto de inicio o de encuentro, se le llama vértice.